Tarea 2
Mónica Alba, Luis Landa, Uriel Martínez, Tonantzin Real
Febrero 24, 2020
Pregunta 1
2. 50 observaciones de una \(\mathcal{N}(0,1)\) y otras 50 observaciones de una \(\mathcal{N}(2,1)\). ¿Cómo se verán las 100 caras de Chernoff si \(X\) y \(Y\) definen la línea de la cara y la oscuridad del cabello?, ¿esperan caras similares?, ¿cuántas caras lucen como oservaciones de \(Y\) cuando aún son observaciones de \(X\)?
ind = matrix(0, ncol = 36) # define una indicadora para el argumento which.row
ind[,13] = 1 # linea derecha de la cara
ind[,14] = 1 # oscuridad del cabello lado derecho
ind[,31] = 1 # linea izquierda de la cara
ind[,32] = 1 # oscuridad izquierda del cabello
x = rnorm(50)
y = rnorm(50, mean = 2)
z = t(cbind(t(x),t(y))); # arma matriz (100x1)
faces(as.matrix(z[1:50]),ind, main="Observaciones 1 a 50", ncol.plot = 5, nrow.plot = 10) # primeras 50 caras
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "Var1"
## "width of face " "Var1"
## "structure of face" "Var1"
## "height of mouth " "Var1"
## "width of mouth " "Var1"
## "smiling " "Var1"
## "height of eyes " "Var1"
## "width of eyes " "Var1"
## "height of hair " "Var1"
## "width of hair " "Var1"
## "style of hair " "Var1"
## "height of nose " "Var1"
## "width of nose " "Var1"
## "width of ear " "Var1"
## "height of ear " "Var1" faces(as.matrix(z[51:100]),ind, main="Observaciones 51 a 100", ncol.plot = 5, nrow.plot = 10) # primeras 50 caras
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "Var1"
## "width of face " "Var1"
## "structure of face" "Var1"
## "height of mouth " "Var1"
## "width of mouth " "Var1"
## "smiling " "Var1"
## "height of eyes " "Var1"
## "width of eyes " "Var1"
## "height of hair " "Var1"
## "width of hair " "Var1"
## "style of hair " "Var1"
## "height of nose " "Var1"
## "width of nose " "Var1"
## "width of ear " "Var1"
## "height of ear " "Var1" x## [1] -1.28507850 0.63355369 0.44602700 0.71122962 1.04101571 0.38166065
## [7] 1.34567679 0.86589406 -0.35308261 -1.64286655 -0.20146989 1.27193157
## [13] 1.32968955 -0.52210557 -0.57437794 0.59510035 0.81025962 -0.46032635
## [19] 0.08005171 1.04435577 0.92007610 0.84796940 -1.25383572 -0.23593163
## [25] -0.52425121 0.69148768 0.66603702 -0.29236692 1.81754601 1.89572778
## [31] -0.02331735 0.16033679 0.16396680 0.30077960 0.34725328 0.15055643
## [37] 0.42060243 -0.05834590 -0.55080178 -1.23368553 0.21906266 -1.22663411
## [43] -0.47549157 1.11156992 0.02812435 1.92778317 0.23281437 -0.86684754
## [49] -2.15135470 0.84251688 y## [1] 2.6937484 2.0669061 0.8156591 0.9635730 1.1769620 2.4175346 3.1611587
## [8] 4.2057422 2.4187568 0.3011098 1.9511804 3.6623551 1.9038069 3.4798339
## [15] 1.4281953 0.3373708 1.5929995 0.3781713 1.7620376 2.6452088 0.8151953
## [22] 2.6671110 1.5816386 3.4534107 2.0263459 1.6859284 1.6761035 2.1650199
## [29] 2.0502183 3.0716692 1.5613290 1.9155633 2.8429410 1.3625479 2.4104710
## [36] 2.7806885 1.4568932 2.3856396 2.4258781 2.2510476 2.1942852 0.7077996
## [43] 3.5536185 3.3742319 2.1250455 2.9726510 1.4439805 1.6714803 0.8185543
## [50] 1.7004829Sí hubo caras similares. Hay 4 payasos en Y comparado con los 3 que hay de X. Hay casi la misma cantidad de caras rojas y cabello verde; hay 4 caras amarillas en Y comparadas con las 10 que hay en X. Las caras rojas son aquellos valores cercanos a 0, mientras que los payasos son los valores más grandes (+/- 3)
3. Consideren los siguientes datos
a. Encuentra la proyección de \(X_1\) sobre 1’=(1,1,1,1,1,1)
# x1 = Nómina de jugadores
x1 <- c(3497900,2485475,1782875,1725450,1645575,1469800)
# Defino al vector de 1 normalizado
ones <- rep(1,6)/sqrt(6)
# Definición de proyección de x1 sobre 1
proy = t(x1) %*% ones %*% ones
proy## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 2101179 2101179 2101179 2101179 2101179 2101179b. Calcula el vector desviación. Relaciona su longitud a la desviación estándar.
# Definición de vector desviación
vDesv <- x1 - proy
vDesv## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 1396721 384295.8 -318304.2 -375729.2 -455604.2 -631379.2 # Desviación estándar
StanDev <- sd(x1)
StanDev## [1] 767752.2Notemos que el cuadrado de la longitud del vector desviación es igual a la suma del cuadrado de las desviaciones
# Longitud del vector
norma <- norm(vDesv,type = "2")
norma^2## [1] 2.947217e+12 vDesv%*%t(vDesv)## [,1]
## [1,] 2.947217e+12c. Grafica (a escala) el triángulo formado por \(y_1\), \(\bar{x}_1\), \(y_1-\bar{x}_1\). Identifica la longitud de cada vector en tu gráfica
nx1 = norm(x1, type = "2")
nproy = norm(proy, type = "2")
nvDesv = norm(vDesv, type = "2")
x = c(0, nproy/nx1, nproy/nx1)
y = c(0, 0,nvDesv/nx1)
plot(x, y, xlim = c(0,1.1), ylim = c(0, .4))
arrows(0,0, x1 = nproy/nx1, y1 = 0)
arrows(0,0, x1 = nproy/nx1, y1 = nvDesv/nx1)
arrows(nproy/nx1,0, x1 = nproy/nx1, y1 = nvDesv/nx1)
vectores = cbind(x,y)
text(vectores, labels = c(round(nproy/nx1,3),round(nvDesv/nx1,3),1), adj = c(0,-1))
d. Repetir los incisos (a) a (c) para \(X_2\) a’. Encuentra la proyección de \(X_2\) sobre 1’=(1,1,1,1,1,1)
# x2 = % de perdidos-ganados
x2 <- c(0.623,0.593,0.512,0.5,0.463,0.395)
# Definición de proyección de x2 sobre 1
proy2 = t(x2) %*% ones %*% ones
proy2## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333b’. Calcula el vector de desviación
# Definición de vector desviación
vDesv2 <- x2 - proy2
vDesv2## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## [1,] 0.1086667 0.07866667 -0.002333333 -0.01433333 -0.05133333 -0.1193333 # Desviación estándar
StanDev2 <- sd(x2)
StanDev2## [1] 0.08376555c’. Grafica (a escala) el triángulo formado por \(y_2\), \(\bar{x}_2\), \(y_2-\bar{x}_2\). Identifica la longitud de cada vector en tu gráfica
nx2 = norm(x2, type = "2")
nproy2 = norm(proy2, type = "2")
nvDesv2 = norm(vDesv2, type = "2")
x = c(0, nproy2/nx2, nproy2/nx2)
y = c(0, 0,nvDesv2/nx2)
plot(x, y, xlim = c(0,1.1), ylim = c(0, .4))
arrows(0,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = 0)
arrows(0,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = nvDesv2/nx2)
arrows(nproy2/nx2,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = nvDesv2/nx2)
vectores = cbind(x,y)
text(vectores, labels = c(round(nproy2/nx2,3),round(nvDesv2/nx2,3),1), adj = c(0,-1))
e. Grafica (a escala) los dos vectores desviación \(y_1-\bar{x}_1\) y \(y_2-\bar{x}_2\). Calcula el valor del ángulo entre ellos
(theta<-acos(vDesv%*%t(vDesv2)/(nvDesv*nvDesv2)))## [,1]
## [1,] 0.4687649 x = c(1,1*cos(theta))
y = c(0,1*sin(theta))
plot(x,y, xlim = c(0,2), ylim = c(0, 2))
arrows(0,0, x1 = 1, y1 = 0)
arrows(0,0,x1=1*cos(theta),y1=1*sin(theta) )
vectores = cbind(x,y)f. Calcula la varianza muestral generalizada (vmg) det(S) para estos datos e interpreta
X <- cbind(x1,x2) # Creo la matriz de X1 y X2
n <- nrow(X)
uno <- rep(1,n)
xBar <- t(X) %*% uno / n # x barra
H <- diag(n) - uno%*%t(uno) / n # H
Sn <- t(X) %*% H %*% X / n # Sn
S <- n/(n-1) * Sn
vmg <- det(S)
vmg## [1] 844182191Como la vmg es proporcional al cuadrado del olumen generado por los p vectores de desviación. COmo vmg = 844182191, entonces sabemos que el volumen del elipsoide al cuadrado generado por \(S\), será igual al vmg multiplicado por una constante proveniente de la ecuación del elipsoide correspondiente a \(S\).
g. Calcula la varianza muestral total (vmt) tr(S) para estos datos e interpreta
vmt <- sum(diag(S))
vmt## [1] 589443426354Geométricamente, la vmt es la suma de las longitudes al cuadrado de los p vectores de desviación divididos entre n-1; sin embargo, no le presta atención a la orientación de los vectores residuales. Como vmt = 589443426354, entonces sabemos que estas corresponde a la suma de las varrianzas de los p elementos de la matriz.
4. Dibuja las elipsoides sólidas para las tres matrices siguientes y determina los valores de los ejes mayores y menores
5. Archivo del INEGI
a. Configura la matriz X para poder operar con ella
# datos <- read.csv("D:\\ITAM\\Aplicada III\\Tareas\\HW2\\INEGIConstruccion2017.csv", header=FALSE)
datos <- read.csv(".\\INEGIConstruccion2017.csv", header=FALSE)
datos <- datos[-1,]
names(datos) <- as.matrix(datos[1,]) # Tomo primer renglón
datos <- datos[-1,] # Elimino el primer renglón
datos[] <- lapply(datos, function(x) type.convert(as.character(x))) # Primera columna names(datos) se vuelve el header
# Datos de enero 2017
datos <- datos %>% filter(Periodo == "2017/01")
head(datos)# x1: total de horas trabajadas
horasTotalesEdos <- t(datos[,str_detect(names(datos), "Horas trabajadas > Total")])
#x2: valor total de producción
totalProd <- t(datos[,str_detect(names(datos), "tipo de obra > Total")])
#como faltan datos, falta agregar los "NA"s para que la matriz funcione correctamente.
#están los estados en orden y no falta ninguno antes de Michoacán, por lo que solamente hay que:
# 1) quitar el primer registro que es el total nacional
# 2) agregar 16 NAs hasta el final
totalProd <- as.matrix( totalProd[2:17,]) #1)
emptyVect <- as.matrix(rep(c(NA), times=16))
totalProd <- as.matrix(append(totalProd, emptyVect, after=16))
#x3: total de horas trabajadas Dependiente
horasDep <- as.matrix(t(datos[,str_detect(names(datos), "Dependiente > Total")])[-1,])
#x4: Obreros Dependiente
obrerosDep <- as.matrix(t(datos[,str_detect(names(datos), "Obreros")])[-1,])
#x5: Empleados Dependiente
empDep <- as.matrix(t(datos[,str_detect(names(datos), "Empleados")])[-1,])
#x6: Propietarios Dependiente
propDep <- as.matrix(t(datos[,str_detect(names(datos), "Propietarios")])[-1,])
#x7: total de horas trabajadas No dependiente
horasNoDep <- as.matrix(t(datos[,str_detect(names(datos), "No dependiente")])[-1,])
X <- cbind(horasTotalesEdos, totalProd, horasDep, obrerosDep, empDep, propDep, horasNoDep)
#Para hacer más clara nuestra tabla, adaptamos los nombres de los renglones
rownames(X) <- str_remove(as.array(rownames(X)), "Construcción \\(encuesta mensual\\) > Por entidad federativa > Horas trabajadas > Total ")
rownames(X) <- str_remove(as.array(rownames(X)), "\\(Miles de horas\\)")
X## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Aguascalientes 1441.083 725965.1 1353.470 1055.779 268.036
## Baja California 3195.071 872017.8 2784.064 2045.011 723.914
## Baja California Sur 636.888 438205.6 564.851 329.325 200.202
## Campeche 1669.002 533582.3 1323.013 958.880 349.655
## Coahuila de Zaragoza 6140.209 1059265.3 4001.635 3304.095 619.639
## Colima 2189.691 414247.1 2152.042 1804.447 320.512
## Chiapas 1469.275 717169.8 1422.475 893.406 492.414
## Chihuahua 7164.411 1404806.6 6870.834 5722.790 1079.958
## Ciudad de México 15689.435 2232549.7 9407.633 6836.521 2430.036
## Durango 4352.566 599605.0 4303.292 3874.623 407.282
## Guanajuato 5636.278 2559231.8 5493.818 4412.815 962.888
## Guerrero 1511.229 345778.8 1435.678 1166.891 236.075
## Hidalgo 1152.703 539917.0 1146.944 882.737 225.714
## Jalisco 8089.720 2136522.1 7105.544 5830.045 1188.357
## México 5392.139 3144478.7 5045.081 3118.509 1814.544
## Michoacán de Ocampo 4084.203 558029.3 3150.759 2363.378 715.655
## Morelos 550.092 NA 511.352 356.827 129.513
## Nayarit 1929.037 NA 1575.761 1273.005 271.445
## Nuevo León 13389.724 NA 8528.908 6926.857 1530.889
## Oaxaca 918.198 NA 881.406 549.736 249.908
## Puebla 4487.444 NA 3833.660 3122.048 645.089
## Querétaro 4037.281 NA 3778.835 3173.833 563.313
## Quintana Roo 1947.345 NA 1765.056 1395.071 359.425
## San Luis Potosí 2556.367 NA 2365.318 1799.165 511.367
## Sinaloa 3345.227 NA 3143.382 2267.931 789.313
## Sonora 6262.502 NA 5555.881 4631.798 911.309
## Tabasco 2261.705 NA 1716.063 1169.822 501.094
## Tamaulipas 6176.806 NA 5224.554 4208.895 950.857
## Tlaxcala 268.718 NA 268.210 200.665 57.040
## Veracruz de Ignacio de la Llave 6582.393 NA 6226.744 5041.573 1113.837
## Yucatán 3423.691 NA 3310.421 2572.381 708.740
## Zacatecas 1510.317 NA 1495.929 1273.993 208.743
## [,6] [,7]
## Aguascalientes 29.655 87.613
## Baja California 15.139 411.007
## Baja California Sur 35.324 72.037
## Campeche 14.478 345.989
## Coahuila de Zaragoza 77.901 2138.574
## Colima 27.083 37.649
## Chiapas 36.655 46.800
## Chihuahua 68.086 293.577
## Ciudad de México 141.076 6281.802
## Durango 21.387 49.274
## Guanajuato 118.115 142.460
## Guerrero 32.712 75.551
## Hidalgo 38.493 5.759
## Jalisco 87.142 984.176
## México 112.028 347.058
## Michoacán de Ocampo 71.726 933.444
## Morelos 25.012 38.740
## Nayarit 31.311 353.276
## Nuevo León 71.162 4860.816
## Oaxaca 81.762 36.792
## Puebla 66.523 653.784
## Querétaro 41.689 258.446
## Quintana Roo 10.560 182.289
## San Luis Potosí 54.786 191.049
## Sinaloa 86.138 201.845
## Sonora 12.774 706.621
## Tabasco 45.147 545.642
## Tamaulipas 64.802 952.252
## Tlaxcala 10.505 0.508
## Veracruz de Ignacio de la Llave 71.334 355.649
## Yucatán 29.300 113.270
## Zacatecas 13.193 14.388b. Calcula el vector de medias y la matriz de covarianzas de la matrix X
(XBarra <- colMeans(X, na.rm = TRUE))## [1] 4.045648e+03 1.142586e+06 3.366957e+03 2.642589e+03 6.730238e+02
## [6] 5.134369e+01 6.786918e+02(S <- var(X, na.rm = TRUE))## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 14567990.6 2232551610 9.412867e+06 7.148303e+06 2141883.71
## [2,] 2232551610.2 781734140931 1.730687e+09 1.234355e+09 465994225.21
## [3,] 9412867.2 1730687190 6.726512e+06 5.223303e+06 1420140.80
## [4,] 7148303.3 1234355219 5.223303e+06 4.159499e+06 1003797.58
## [5,] 2141883.7 465994225 1.420141e+06 1.003798e+06 394867.16
## [6,] 122680.2 30337746 8.306814e+04 6.000603e+04 21476.06
## [7,] 5155123.4 501864420 2.686356e+06 1.925001e+06 721742.90
## [,6] [,7]
## [1,] 122680.183 5155123.42
## [2,] 30337745.581 501864419.99
## [3,] 83068.142 2686355.70
## [4,] 60006.032 1925000.76
## [5,] 21476.064 721742.90
## [6,] 1586.046 39612.04
## [7,] 39612.041 2468767.72c. Verifiquen que det(S) = \(\prod_{i = 1}^{7} s_{i}^2\) \(\times\)det(R)
Si analizamos los eigenvalores de nuestra matriz de varianza de los datos, notamos que los valores son muy dispersos, y uno de ellos es muy cercano a cero. Esto puede ocasionar que su producto sea extremádamente cercano a cero y el resultado deseado no se alcance. Por ende, vamos a aplicar la función \(log()\) a los datos, para corregir así la disparidad de los eigenvalores.
X <- log(X)
R <- cor(X, use = "complete.obs")
detR <- det(R)
S <- var(X, na.rm = TRUE)
detS <- det(S)
vaps <- eigen(S)$values
(det(prod(vaps)*cor(R))-det(S))## [1] -9.496053e-09Como podemos notar, la diferencia es casi cero, por lo que podemos decir que el error es despreciable y así afirmamos que el enunciado de arriba es cierto.
Pregunta 6
Pregunta 7
Pregunta 8
Pregunta 9
